Eerste semester
Tweede semester
Beide semesters
Niet ingericht
Dit jaar
Volgend jaar
Wisselende jaren
Extern
Voorwaarden
Docenten
Onderwijstaal
Duur
Identieke opleidingsonderdelenAnalyse I (B-KUL-G0N30B)
Uitgesloten voor examencontractDoelstellingen
In deze leergang wordt de elementaire analyse rigoureus opgebouwd. Er is gekozen voor een behandeling van concreet (vertrouwd) naar abstract. Hierbij gaat de aandacht uit zowel naar het
deductieve als naar het inductieve aspect van de opbouw. Het deductieve aspect wordt teruggevonden in de talrijke bewijzen. Aandacht voor het inductieve aspect betekent dat begrippen, resultaten,
veralgemeningen en abstracties zoveel mogelijk gemotiveerd worden vanuit een voor de student toegankelijke probleemstelling. Er wordt hierbij tijd besteed aan het formuleren en controleren van
vermoedens. Als zodanig is deze leergang vanuit inhoudelijk en methodologisch standpunt de basis voor de verdere ontwikkeling van de analyse-component in de opleiding.
Na het volgen van dit opleidingsonderdeel:
(1) heeft de student inzicht verworven in de rigoureuze elementaire analyse (zoals het begrip continuïteit, convergentie van rijen en reeksen, afgeleide voor functies van één veranderlijke, metrische ruimten),
(2) kan de student bewijzen uit de elementaire analyse begrijpen en voor variante resultaten zelf bewijzen opstellen,
(3) heeft de student een goede intuïtie ontwikkeld over de objecten die in deze leergang aan bod komen wat hem/haar onder meer toelaat om zelf voorbeelden en tegenvoorbeelden te bedenken, om open waar/vals-vragen te kunnen beantwoorden en beargumenteren, ...
(4) heeft de student geleerd eenvoudige probleemstellingen (binnen de context van dit opleidingsonderdeel) scherp te formuleren en die problemen te onderzoeken,
(5) heeft de student zin voor veralgemening en abstractie ontwikkeld en heeft hij/zij ervaren hoe zinvolle abstractie het inzicht kan verdiepen.
Begintermen
De opleidingsonderdelen van de opleiding Bachelor in de fysica of Bachelor in de wiskunde kunnen enkel gevolgd worden indien men over een deelnamebewijs aan een ijkingstoets beschikt . Klik hier voor meer info
Er wordt verondersteld dat de studenten op een intuïtief niveau vertrouwd zijn met de analyse (limieten, afgeleiden en integralen) van functies van één veranderlijke (zoals behandeld in het secundair onderwijs). Bovendien beschikt de student over de elementaire rekenvaardigheden in verband met limieten, afgeleiden en integralen (een goede beheersing van wat hierover in het secundair onderwijs gezien wordt, volstaat in principe. In elk geval zijn de rekenvaardigheden zoals aangeleerd in een opleidingsonderdeel als Calculus I voldoende). Belangrijk is dat de student bij aanvang reeds ervaring heeft met het begrijpen en zelf opstellen van rigoureuze wiskundige bewijzen in het bijzonder bewijzen over limieten van rijen in R. Dit komt overeen met wat in een opleidingsonderdeel als Bewijzen en redeneren wordt aangeleerd.
Identieke opleidingsonderdelen
Dit opleidingsonderdeel is identiek aan de volgende opleidingsonderdelen:
X0A31C : Analyse I
Plaats in het onderwijsaanbod
- Bachelor in de informatica (Leuven) (Minor Wiskunde) 180 sp.
- Bachelor in de wiskunde (Leuven) 180 sp.
- Bachelor in de fysica (Leuven) (Minor wiskunde) 180 sp.
- Educatieve master in de wetenschappen en technologie (Leuven) 120 sp.
Onderwijsleeractiviteiten
3.5 sp. Analyse I (B-KUL-G0N30a)
Inhoud
1. Topologie in R (en C).
Open en gesloten deelverzamelingen. Sluiting en inwendige. Randpunten, geïsoleerde punten, ophopingspunten. Relatieve topologie.
2. Continuïteit voor functies van R naar R.
Het continuïteitsbegrip (definitie, voorbeelden en tegenvoorbeelden, karakterisering in termen van convergente rijen). Operaties met continue functies (bewerkingen, samenstellen, inverteren). Continue functies op intervallen (tussenwaardestelling). Continue functies op gesloten begrensde delen. Uniforme continuïteit. Rijen van (continue) functies (puntsgewijze en uniforme convergentie). Limieten van functies.
3. Afgeleiden van functies van R naar R.
Het concept afgeleide (definitie, bewijzen van de elementaire eigenschappen en rekenregels). Middelwaardestellingen van Rolle en Lagrange (met toepassingen, bv. de regel van de l’Hôpital). Een tussenwaardestelling voor afgeleiden. Hogere orde afgeleiden. Middelwaardestelling van Taylor. Afgeleiden voor functies van C naar C.
4. Reeksen.
Reeksen in C (met bewijzen van convergentietesten voor relatieve en absolute convergentie). Reeksen van functies (in het bijzonder machtreeksen). De functies exp, sin en cos als functies van C naar C.
5. Continuïteit voor functies van Rp naar Rq.
Convergentie en topologie in Rp. Continue functies van Rp naar Rq (veralgemenen van begrippen en resultaten van 2.)
6. Metrische ruimten en continuïteit.
Metrische ruimten (motivatie, definitie, voorbeelden). Convergente rijen in metrische ruimten. Topologie in metrische ruimten (Open en gesloten verzamelingen, sluiting en inwendige, randpunten, geïsoleerde punten, ophopingspunten, relatieve topologie, compacte verzamelingen, samenhangende verzamelingen) Continuïteit van functies tussen metrische ruimten. Convergentie van rijen van continue functies. Volledigheid en vervollediging.Vastepuntstelling (contractiestelling van Banach) en toepassingen.
Studiemateriaal
Cursustekst opgesteld door de docent.
Toledo
Toelichting werkvorm
Interactieve colleges. Om effectieve interactie mogelijk te maken wordt verwacht dat de student bepaalde voorbereidstaken maakt.
2.5 sp. Analyse I: oefeningen (B-KUL-G0N82a)
Inhoud
Zie ola G0N30a
Studiemateriaal
Zie ola G0N30a
Toelichting werkvorm
In dit ola worden onder begeleiding van een lid van het didactisch team de oplossingen van oefeningen die de studenten vooraf moeten maken, door de studenten voorgesteld en besproken.
Evaluatieactiviteiten
Evaluatie: Analyse I (B-KUL-G2N30b)
Toelichting
Partiële permanente evaluatie door middel van twee verplichte schriftelijke tussentijdse toetsen en een schriftelijk eindexamen. De resultaten van beide tussentijdse toetsen samen tellen minstens voor 2 van de 20 punten in het eindresultaat mee. Indien de score op beide toetsen samen beter is dan de score op het eindexamen, tellen ze voor 5 van de 20 punten mee.
Nauwkeuriger en meer in detail:
Uit de punten die behaald werden op beide tussentijdse toetsen, wordt een deelscore T (op een schaal 0-20) berekend als volgt: T = (2T1+3T2)/5 waarbij T1 resp. T2 de punten zijn (op een schaal 0-20) die behaald werden op de eerste resp. tweede tussentijdse toets. In de examenperiode legt de student een schriftelijk eindexamen af en behaalt daarop een score E (op een schaal 0-20). Uit T en E wordt een eindscore S (op een schaal 0-20) berekend als volgt: S = (5T+15E)/20 als T>=E, S= (2T+18E)/20 als E>T (afgerond tot het dichtsbijzijnd geheel getal)
Zowel het afrondend eindexamen als de tussentijdse toetsen zijn "open boek".
Toelichting bij herkansen
Schriftelijk open boek examen.
De resultaten behaald op beide tussentijdse schriftelijke toetsen doorheen het semester worden bij de tweede examenkans enkel verrekend als 5 mogelijke bonuspunten, d.w.z. als een student voor de tussentijdse evaluaties T op 20 heeft behaald en E op 20 voor het eindexamen in augustus/september, dan is zijn eindscore het maximum van E en (5T+15E)/20 (afgerond tot het dichtsbijzijnd geheel getal).