Doelstellingen
Deze cursus beoogt een systematische introductie tot de algemene topologie. Alhoewel de studenten uit hun vooropleiding (en vrijwel uitsluitend vanuit de context van sommige metrische ruimten) reeds enige ervaring hebben met typische topologische begrippen zoals open en gesloten) verzamelingen, continuiteit, convergentie, compactheid en samenhang, wordt in deze cursus duidelijk dat topologie en topologische invariantie op een algemenere manier kan geïntroduceerd en bestudeerd worden en dat hiervoor ook meermaals behoefte bestaat.
Na het volgen van dit opleidingsonderdeel:
- heeft de student inzicht verworven in belangrijke centrale begrippen uit de algemene topologie zoals open, gesloten, metrisch, Hausdorff, samenhangend, compact, telbaarheidsklasse, regulier en normaal, en heeft hij kennis gemaakt met voorbeelden en tegenvoorbeelden voor die begrippen
- heeft de student inzicht verworven in belangrijke begrippen in verband met functies tussen topologische ruimten, zoals continue functies, homeomorfismen, open functies, gesloten functies, en de topologische eigenschappen die al of niet bewaard worden door een continue functie
- is de student in staat te controleren of een bepaalde verzameling deelverzamelingen een topologie is, en na te gaan welke van deze eigenschappen ze al dan niet heeft
- is de student vertrouwd met verschillende manieren om een topologie te bepalen, zoals werken met een basis of een subbasis, zoals de producttopologie, de quotienttopologie, een finale of initiale topologie voor een verzameling functies
- is de student in staat een gegeven bewijsvoering van een topologische eigenschap te begrijpen, en een bewijsvoering voor relatief eenvoudige topologische eigenschappen te geven
- is de student in staat toepassingen van topologisch redeneren of topologische eigenschappen in andere wiskundige contexten te illustreren of te begrijpen
Begintermen
Een vooropleiding waarin basisbegrippen uit de wiskundige analyse (limiet, continuiteit, metrische topologie) en uit de verzamelingenleer aan bod kwamen wordt verondersteld. De student dient vertrouwd te zijn met het maken van wiskundige redeneringen (diverse bewijstechnieken). Meermaals zullen ook voorbeelden aan bod komen die beroep doen op kennis uit andere domeinen, zoals de algebra (groepen, quotientstructuren) en zoals meer gevorderde analyse (functieruimten). In de bacheloropleiding wiskunde is die voorkennis b.v. aanwezig via opleidingsonderdelen als (Wiskundige) Analyse I, Algebraische structuren, Analyse II, Algebra I, Bewijzen en redeneren of Wiskundig Redeneren.
Volgtijdelijkheidsvoorwaarden
Dit opleidingsonderdeel is een voorwaarde voor het opnemen van volgende opleidingsonderdelen:
G0O05B : Eindproject
Identieke opleidingsonderdelen
Dit opleidingsonderdeel is identiek aan de volgende opleidingsonderdelen:
X0D95A : Topologie
Plaats in het onderwijsaanbod
- Bachelor in de wiskunde (Leuven) 180 sp.
Onderwijsleeractiviteiten
4 sp. Topologie (B-KUL-G0P55a)
Inhoud
Na een herhaling van de elementaire topologische begrippen zoals gekend voor metrische en genormeerde ruimten, wordt kennis gemaakt met de algemene opbouw van een topologische ruimte, met continue afbeeldingen (en homeomorfismen) en met het vergelijken van topologieën. In de praktijk worden topologieën vaak geconstrueerd van uit bepaalde specifieke situaties en probleemstellingen. Verschillende constructies worden besproken en met voorbeelden toegelicht.
Diverse voorbeelden van metrische ruimten worden behandeld. Er gaat aandacht naar de metriseerbaarheid van enkele belangrijke topologische ruimten. Voorbeelden en tegenvoorbeelden.
Er wordt kennis gemaakt met een veralgemeend begrip van convergentie, waarvoor een beroep wordt gedaan op het begrip van net. Het verband tussen convergentie van netten en continuiteit van afbeeldingen wordt toegelicht.
Met de introductie van een aantal voorname topologische invarianten onder de vorm van scheidingskenmerken, (lokale) samenhang en (lokale) compactheid, wordt kennis gemaakt met begrippen en aanverwante eigenschappen die in vele andere disciplines van de wiskunde aan bod komen.
Er wordt kennis gemaakt met het probleem van metriseerbaarheid van een topologische ruimte.
Aan de hand van talrijke voorbeelden, en gepast oefenmateriaal voor de oefensessies wordt gestreefd naar vaardigheid bij de student om de aangeleerde kwalificaties te herkennen en actief te gebruiken.
Aan bod komen:
1. De gewone topologie van metrische ruimten en genormeerde vectorruimten
2. Algemene topologische ruimten, omgevingen, basis van een topologie; afgeleide verzamelingen
van een verzameling (sluiting, inwendige, ophopingspunten, …)
3. Continuïteit en homeomorfismen; topologische invariantie
4. Het vergelijken van topologieën
5. Constructie van topologische ruimten vanuit verschillende invalshoeken, telkens met voorbeelden (o.m. producttopologie, quotiënttopologie, initiale en finale topologie, zwakke topologie, topologie bepaald door een basis of subbasis, functieruimten)
6. Convergentie (o.m. het begrip net); verband met continuiteit; het begrip filter;
7. Scheidingsaxioma's (eerder beknopt) met het lemma van Urysohn
8. Samenhang en lokale samenhang; boogsamenhang; componenten;
9. Compactheid, rijcompactheid, lokaal compactheid, compactificatie (i.h.b. De 1-untscompactificatie),
compacte deelruimten van R
Studiemateriaal
De cursus is gebaseerd op en volgt in grote lijnen het gedeelte Algemene Topologie uit het boek
"Topology", van J. Munkres, 2nd Edition, Prentice Hall Inc., 2000
Toelichting werkvorm
Aan de hand van voorbeelden en tegenvoorbeelden wordt kennis gemaakt met de nieuwe begrippen, hun eigenschappen en hun inzetbaarheid. Preciese bewijzen en nauwkeurige redeneringen zijn cruciaal in het werken met deze begrippen en eigenschappen.
2 sp. Topologie: oefeningen (B-KUL-G0P56a)
Inhoud
Onder begeleiding van een wetenschappelijk medewerker en tijdens de voorziene contactmomenten maken de studenten oefeningen over de ingevoerde begrippen en de geziene eigenschappen en resultaten.
Los van de contactmomenten worden 3 take-home opdrachten aangeboden aan de studenten. Bij elke opdracht hoort het maken van een rapport. Voor deze taken worden de studenten aangemoedigd om samen te werken. Het rapport bij elke taak is evenwel een individueel rapport. Het gebruik van een goede wetenschappelijke stijl, met inbegrip van referenties en samenwerkingen, wordt aangemoedigd. Het gebruik van het Engels als taal voor de rapporten wordt aangemoedigd. Het maken van deze take-home opdrachten is een cruciaal onderdeel van de evaluatie van dit opleidingsonderdeel.
Evaluatieactiviteiten
Evaluatie: Topologie (B-KUL-G2P55b)
Toelichting
Tijdens het semester maken de studenten 2 taken, waarover ze schriftelijk en individueel rapporteren. Deze taken maken een aspect van permanente evaluatie uit. Deze taken, samen met de toelichting erover op het examen, tellen voor 6 punten van het te behalen totaal van 20.
Bij een eventueel herexamen in een volgende examenperiode, wordt de quotering voor de taken behouden, doch wordt het belang ervan herleid tot maximum 3 punten van het eindtotaal van 20.
Wie de taken echter niet meemaakt, kan niet slagen voor het vak als geheel.