Optioneel in fase
Tweede semester
Beide semesters
Niet ingericht
Dit jaar
Volgend jaar
Wisselende jaren
Extern
Voorwaarden
Identieke opleidingsonderdelenCalculus I (B-KUL-G0Y37A)
Uitgesloten voor examencontract
Keppens Rony (coördinator) | Keppens Rony | Poedts Stefaan | Nicaise Johannes (plaatsvervanger) Doelstellingen
Dit opleidingsonderdeel moet de rekenvaardigheden van de studenten aanscherpen en verder ontwikkelen. Het gaat hierbij zowel om handberekeningen als berekeningen die uitgevoerd en/of grafisch geïllustreerd worden met een symbolisch rekenpakket (SymPy). De meeste van de rekentechnieken die aan bod komen, hebben betrekking op de analyse van reële functies van één en meerdere veranderlijken en van vectorfuncties. Dit opleidingsonderdeel wil niet voorzien in een strikt rigoureuze opbouw van een wiskundige theorie, maar spitst zich volledig toe op inzichtelijk rekenen. Begrippen die nieuw zijn voor de beginnende studenten (partiële afgeleiden, meervoudige integralen, reeksen, differentiaalvergelijkingen,...) zullen met de nodige motivatie worden geïntroduceerd en met de nodige intuïtie worden onderbouwd. Stellingen die het inzicht in en het kunnen omgaan met deze begrippen ten goede komen, worden vermeld en aannemelijk gemaakt, maar niet formeel bewezen.
Na het volgen van dit opleidingsonderdeel
– kan de student zorgvuldig rekenen met ongelijkheden,
– kan de student rekenen met reële n-tallen,
– kan de student overweg met de grafische voorstellingswijzen van functies van één en twee
veranderlijken (grafieken, niveaulijnen)
– kan de student voor functies van één veranderlijke met vrij eenvoudige functievoorschriften vlot het kwalitatieve verloop van de grafiek schetsen (zonder hulp van ICT),
– kan de student (partiële) afgeleiden berekenen van functies (van meerdere veranderlijken),
– heeft de student inzicht in de meetkundige betekenis van de (partiële) afgeleide(n) en de eerste orde benadering van een functie,
– heeft de student inzicht in de betekenis van richtingsafgeleiden en de gradiënt van functies van meerdere veranderlijken,
– kan de student inzichtelijk de kettingregel toepassen ook in de context van functies van meerdere veranderlijken,
– kan de student functies die impliciet gegeven zijn, (partieel) afleiden,
– kan de student lokale vrije extrema van functies van één en meerdere veranderlijke vinden,
– kan de student lokale gebonden extrema vinden van functies van twee en meer veranderlijken onder één of meerdere randvoorwaarden gegeven door gelijkheden,
– beheerst de student de elementaire technieken om primitieven te berekenen (substitutie, partiële integratie, splitsen in partieelbreuken, recursiemethoden, ...) en kan hij in diverse situaties zelf inschatten welke methode adequaat is,
– kan de student de oneigenlijke integreerbaarheid nagaan,
– kan de student de convergentie van een reeks nagaan aan de hand van enkele basiscriteria,
– kan de student functies van één veranderlijke in reeks ontwikkelen en dit gebruiken voor numerieke benaderingen
– kan de student het asymptotisch gedrag van eenvoudige functies nagaan en gebruiken bij limietberekeningen, het bepalen van convergentie van reeksen en het al dan niet convergeren van oneigenlijke integralen,
– kan de student eenvoudige differentiaalvergelijkingen van de eerste orde (met scheidbare veranderlijken of lineaire) expliciet oplossen,
– kan de student kwalitatief zicht krijgen op de oplossingen van differentiaalvergelijkingen van eerste orde en eerste graad via het richtingsvectorveld,
– kan de student lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde met constante coëfficiënten oplossen,
– heeft de student de vaardigheid om symbolische (en eenvoudige numerieke) berekeningen in SymPy (met numpy) uit te voeren,
– kan de student de grafische basiscapaciteiten van SymPy zinvol gebruiken,
– kan de student vraagstukken in eenvoudige contexten, die geen specifieke voorkennis van één of ander toepassingsgebied
vergen, vertalen naar een wiskundig probleem en dit probleem oplossen met door hem gekozen technieken.
Begintermen
De opleidingsonderdelen van de opleiding Bachelor in de fysica of Bachelor in de wiskunde kunnen enkel gevolgd worden indien men over een deelnamebewijs aan een ijkingstoets beschikt . Klik hier voor meer info
Er wordt verondersteld dat de studenten in de derde graad van het secundair onderwijs een studierichting met “Wiskunde” in de naam hebben gevolgd (d.i. 6 lestijden per week).
In het bijzonder
- is de student reeds vertrouwd met de functies exp en ln, de goniometrische en de cyclometrische functies,
- kent de student minstens op intuïtieve manier de concepten limiet, afgeleiden en integraal voor functies van één veranderlijke
- en beheerst hij de elementairste rekentechnieken in verband met deze concepten.
Identieke opleidingsonderdelen
Dit opleidingsonderdeel is identiek aan de volgende opleidingsonderdelen:
X0E63A : Analyse en calculus
Plaats in het onderwijsaanbod
- Bachelor in de wiskunde (Leuven) 180 sp.
- Bachelor in de fysica (Leuven) 180 sp.
Onderwijsleeractiviteiten
2.5 sp. Calculus I: plenaire sessie (B-KUL-G0Y38a)
NederlandsWerkvorm: College
18 uren
Eerste semesterKeppens Rony | Poedts Stefaan | Nicaise Johannes (plaatsvervanger) Inhoud
1. Rekenen in R:
oplossen van (rationale) gelijkheden en ongelijkheden in één onbekende, functies van 1 reële veranderlijke en grafieken, trigonometrische en rationale functies.
2. Limieten en continuiteit.
Limieten van rijen in R (het limietbegrip wordt intuïtief gehouden). Rekenregels en onbepaalde vormen. Limieten en orde. Limieten van functies van één veranderlijke. Uitbreiding van het limietbegrip naar functies van meerdere veranderlijken. Verband met continuïteit (intuïtief).
3. Transcendente functies.
4. Afgeleiden van functies van één en meerdere veranderlijken en toepassingen.
Concept afgeleide en partiële afgeleide + meetkundige betekenis. Rekenregels. Eerste orde benadering. Kettingregel. Hogere orde afgeleiden. Afleiden van impliciet gedefinieerde functies. Richtingsafgeleiden en gradiënt.
Vrije extrema van functies van één en meerdere veranderlijken: nodige eerste orde voorwaarden + voldoende tweede orde voorwaarden (in termen van de Hessiaan). Gebonden extrema van functies van twee en meer veranderlijken onder één of meerdere randvoorwaarden gegeven door gelijkheden: enkel nodige eerste orde voorwaarden (m.b.v. Lagrangemultiplicatoren).
5. Integratie van reële functies van één veranderlijke:
Integraal van een functie van één veranderlijke als "oppervlakte onder de grafiek" (dus niet de formele definitie van de Riemannintegraal). Hoofdstelling. Methoden om primitieven te berekenen (tabel, lineariteit, partiële integratie, substitutieregel, splitsen in partieelbreuken, recursieve methoden, …). Oneigenlijke integralen. Gamma- en betafunctie. Eenvoudige numerieke benaderingsmethoden. Toepassingen van integralen.
6. Geparametriseerde krommen, booglengtes.
7. Reeksen en reeksontwikkelingen.
Relatieve versus absolute convergentie. Eenvoudige convergentiecriteria (vergelijkingstest, verhoudingstest van d'Alembert, integraaltest). Taylorreeksontwikkelingen. n-de orde benadering van een functie rond een bepaald punt en toepassingen.
8. Differentiaalvergelijkingen:Expliciet oplossen van eerste orde differentiaalvergelijkingen die lineair zijn of van het type scheidbare veranderlijken. Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde met constante coëfficiënten.
Studiemateriaal
Calculus. A complete course. Adams & Essex, 9th edition, Pearson (Toronto). Nodig is een exemplaar met bijhorende MyMathLab registratiecodes, dus met titel: Calculus, KULeuven Adams/Croft MML Pack met ISBN: 9780134588674 (=Adams Calculus 9e + studentregistratiecode mymathlab).
Verder worden alle slides beschikbaar gemaakt via toledo, samen met uitgewerkte voorbeeldopgaven en feedback rond evaluaties.
De SymPy sessies werken met uitvoerig gedocumenteerde worksheets, waar stap voor stap alle vaardigheden om te werken met de software voor het rekenen met reële getallen en functies worden aangebracht.
Toelichting werkvorm
Tijdens de interactiecolleges wordt vooral ingegaan op (vooraf uit te werken) opgaven: rekenvaardigheden staan centraal.
In de verschillende interactiemomenten met assistenten, docenten en monitor worden vaak voorkomende fouten, geschikte oplossingsmethodes, en alternatieve berekeningstechnieken uitvoerig besproken.
Bij de computersessies (in PC lokalen) worden de basisvaardigheden om met SymPy berekeningen uit te voeren aangeleerd en toegepast.
3.5 sp. Calculus I: begeleidingssessie (B-KUL-G0Y39a)
NederlandsWerkvorm: Opdracht28 urenEerste semesterKeppens Rony | Poedts Stefaan | Nicaise Johannes (plaatsvervanger) Inhoud
Dit opleidingsonderdeel moet de rekenvaardigheden van de studenten aanscherpen en verder ontwikkelen. Het gaat hierbij zowel om handberekeningen als berekeningen die uitgevoerd en/of grafisch geïllustreerd worden met SymPy. De meeste van de rekentechnieken die aan bod komen, hebben betrekking op de analyse van reële functies van één en meerdere veranderlijken. Gaandeweg wordt de graad van complexiteit en verwevenheid van de rekentechnieken opgevoerd. Bovendien wordt aandacht besteed aan contextualisering: elementaire problemen (bv. uit de fysica) worden ingeschakeld als inspiratie en motivatie. Dit opleidingsonderdeel wil niet voorzien in een strikt rigoureuze opbouw van een wiskundige theorie, maar spitst zich volledig toe op inzichtelijk rekenen. Begrippen die nieuw zijn voor de beginnende studenten (partiële afgeleiden, meervoudige integralen, reeksen, differentiaalvergelijkingen, …), zullen met de nodige motivatie worden geïntroduceerd en met de nodige intuïtie worden onderbouwd. Stellingen die het inzicht in en het kunnen omgaan met deze begrippen ten goede komen, worden vermeld en aannemelijk gemaakt, maar niet formeel bewezen.
Studiemateriaal
Handboek en SymPy worksheets.
Toelichting werkvorm
De studenten worden aangespoord de vooraf opgelijste rekenoefeningen voor te bereiden, om de interactie tijdens de oefensessies en begeleide contactmomenten te optimaliseren. Voor de SymPy-sessies wordt er begeleiding voorzien.
Evaluatieactiviteiten
Evaluatie: Calculus I (B-KUL-G2Y37a)
Toelichting
De permanente evaluatie wordt vorm gegeven via deeltoetsen, die toelaten om de rekenvaardigheden van de studenten te beoordelen. Die deeltoetsen bouwen steeds verder op de cumulatief aangebrachte materie: elke test kan kennis van alle voorgaand opgebouwde/herhaalde leerstof vereisen (hoewel de toetsen in de praktijk gepland worden na relatief afgebakende delen uit het gekozen handboek). De SymPy-vaardigheden worden ook getest en de beschikbaar gestelde voorbeeldworksheets mogen daarbij gebruikt worden. De eindscore wordt opgebouwd vanuit een gewogen gemiddelde over alle deelscores, waarbij elke student alle deeltoetsen moet hebben doorlopen.
Toelichting bij herkansen
Bij een herexamen worden analoog een aantal tests opgesteld die de volledig opgedane kennis kunnen bestrijken, maar hetzelfde niveau van rekenvaardigheden testen als de cumulatieve deeltesten uit de permanente evaluatie. Ook zal een deeltest via SymPy uitgewerkt moeten worden.