Inhoud

1. Basisbegrippen
opfrissen en verder uitwerken van begrippen uit de (numerieke) wiskunde: vector-en matrixnorm, scalair product, orthogonaliteit, stabiliteit, conditie.
 
2. Matrix-factorisatie-algoritmen
- toepassingen: opstellen van kleinste-kwadraten-benaderingen, multilineaire regressie, tijdreeksanalyse, numerieke voorspelling
- herhaling van begrippen uit de cursus numerieke wiskunde:
factorisatie van algemene en symmetrisch positief-definiete matrices (LU- en Cholesky-decompositie)
- orthogonale factorisatie: QR-decompositie, Gram-Schmidt orthogonalisatie
- oplossen van overgedetermineerde stelsels
 
3. De snelle Fourier-transformatie
- toepassingen: signaalverwerking (digitale filters, spectrale analyse), beeldverwerking (ruisverwijdering, compressie met JPEG en MPEG)
- definitie en eigenschappen van de discrete Fourier-transformatie (DFT)
- de snelle Fourier-transformatie (FFT): afleiding, complexiteit, implementatie
- varianten: discrete cosinustransformatie (DCT), DST, meerdimensionale DFT.
 
4. Benaderen en ontwerpen met splines
- toepassingen: reverse-engineering, modelleren van meetwaarden, computergesteund geometrisch ontwerp van krommen en oppervlakken,
- definitie, eigenschappen, voorstelling van splinefuncties en B-spline basisfuncties
- benaderen met behulp van splines: interpolatie en vereffening volgens verschillende criteria (kleinste kwadraten, smoothing)
- computergesteund geometrisch ontwerp: Bézier-, spline- en NURBS-krommen en oppervlakken.
 
5. Krylov deelruimtemethoden
- toepassingen: oplossen van grote ijle stelsels  in numerieke simulatie
- iteratieve methoden: lineaire en niet-lineaire technieken
- het begrip Krylov-deelruimte
- twee basismethoden: toegevoegde gradiënt-methode (CG = Conjugatie Gradient) en GMRES (Generalised Minimal Residual Method)
- preconditionering: doel, principes.
 
6. Eigenwaarden- en singuliere waarden-ontbinding
- toepassingen: stabiliteitsanalyse, modale analyse, modelreductie, bewerkingen op grafen (partitionering, ordening, PageRank)
- enkele eigenschappen (multipliciteit, Schurvorm, sensitiviteit)
- berekening van enkele geselecteerde eigenwaarden van (grote) matrices: deelruimte-iteratie, inverse iteratie, Rayleigh quotient.
- QR-algoritme
- berekenen van de singulierewaardenontbinding (beknopt).

Studiemateriaal

Voor het gedeelte "Numerieke Lineaire Algebra" worden er verschillende hoofdstukken gebruikt van het boek: Loyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
Voor het overige gedeelte van de cursus is er een cursustekst.

Inhoud

In elke zitting wordt Matlab gebruikt. Daarbij wordt de nadruk gelegd op de ontwikkeling van efficiënte Matlab code (bv. door het vermijden van de inverse te berekenen, gebruik maken van vectorbewerkingen, ...) en het schrijven van uitbreidbare/herbruikbare code.

Zittingen 1, 2 en 4 bevatten telkens een 'pen en papier' gedeelte waarbij er meer theoretische oefeningen uitgewerkt worden.
Zitting 1: QR-factorisatie en kleinste-kwadratenproblemen
-> hoort bij deel 2 uit 'Numerical Linear Algebra' van L.N. Trefethen, D. Bau
-> inhoud/doelstellingen:

• doorgronden algoritmes voor het opstellen van een QR-factorisatie met behulp van Householder en Givens transformaties
• problemen met numerieke afrondingsfouten bij Householder reflecties en normaalvergelijkingen
• een toepassing uitwerken op een uitbreiding van de theorie uit de cursus naar snelle Givenstransformaties

Zitting 2: Conditie van kleinste-kwadratenproblemen en stabiliteit van kleinste-kwadratenalgoritmes
-> hoort bij deel 3 uit 'Numerical Linear Algebra' van L.N. Trefethen, D. Bau
-> inhoud/doelstellingen:

• opfrissing SVD
• begrip van theorem 18.1:
  - theoretische uitwerking & illustratie van de betekenis van de parameters (conditiegetal, eta, cos(theta)) uit theorem 18.1
  - ontwikkeling van een Matlab programma om de conditie van verschillende soorten matrixproblemen te onderzoeken
• onderscheid tussen conditie en stabiliteit

Zitting 3: Eigenwaardenproblemen
-> hoort bij deel 5 uit 'Numerical Linear Algebra' van L.N. Trefethen, D. Bau
-> inhoud/doelstellingen:

• convergentiesnelheid QR-methode numeriek onderzoeken
• inverse iteratie (algoritme 27.2) uitwerken, conditie en stabiliteit praktisch onderzoeken
• probleem conditie van defectieve matrices

Zitting 4: Iteratieve methoden
-> hoort bij deel 6 uit 'Numerical Linear Algebra' van L.N. Trefethen, D. Bau
-> inhoud/doelstellingen:

• betekenis theoretische convergentiesnelheid CG (formules 38.9 en 38.9)onderzoeken (theoretisch + in Matlab)
• uitwerking van de methode van de steilste helling (theoretische eigenschappen bewijzen, praktische vergelijking in Matlab met CG)
• implementatie Arnoldi iteraties
  Opmerking: zitting 3 en 4 kunnen omgewisseld worden naargelang het onderwerp van het practicum.

Zitting 5: Kleinste-kwadratenbenaderingen, deel 1
-> hoort bij hoofdstukken 2-3 uit Acco cursus
-> inhoud/doelstellingen:

• grafische illustratie kleinste-kwadratenbenaderingen
• implementatie van kleinste-kwadratenbenaderingen als oplossing van een normaalstelsel en als oplossing van een overgedetermineerd stelsel
• toepassing: benaderen van een kromme

Zitting 6: Kleinste-kwadratenbenaderingen, deel2
Deze oefenzitting maakt gebruik van de code ontwikkeld in oefenzitting
5. Daarnaast hoort er bij deze oefenzitting een invulblad waarop de
studenten hun resultaten noteren. Bij de volgende oefenzittingen krijgen
de studenten hun verbeterde resultaten terug en worden de meest
voorkomende fouten besproken.
-> inhoud/doelstellingen:

• onderscheid tussen kleinste-kwadratenbenaderingen en interpolerende veeltermbenadering
• toepassing van kleinste-kwadratenbenaderingen op enkele niet-triviale problemen met onderzoek van de nauwkeurigheid

Zitting 7: FFT en DFT
-> hoort bij hoofdstuk 4 uit Acco cursus
-> inhoud/doelstellingen:

•  betekenis Fourier frequenties
•  uitwerking compressie van een foto m.b.v. FFT
•  implementatie van een DFT-vermenigvuldigingsalgoritme

Zitting 8: Geometrische modellering
-> hoort bij hoofdstuk 6 uit Acco cursus
-> inhoud/doelstellingen:

• onderzoek en vergelijking van de eigenschappen van de verschillende soorten curven die gebruikt worden voor geometrische modellering.
  Oefenzitting 8 maakt geen gebruik van Matlab, maar gebruikt een Java-pakket voor de visualisatie van de verschillende types curven.
  Bij oefenzittingen 7 en 8 worden de aanwezigheden genoteerd.