Verplicht in fase
Optioneel in fase
Eerste semester
Beide semesters
Niet ingericht
Dit jaar
Volgend jaar
Wisselende jaren
Extern
Voorwaarden
Identieke opleidingsonderdelenNiet-lineaire systemen (B-KUL-H0S11A)
Nederlands
Tweede semester
Uitgesloten voor examencontract
Suykens Johan (coördinator) | Feppon Florian | Suykens Johan Doelstellingen
De dynamiek van veel processen die zich afspelen in de reële wereld wordt gedomineerd door niet-lineaire factoren en wordt in toenemende mate geëxploiteerd in toepassingen. Deze cursus wil inzicht geven in niet-lineaire fenomenen en complexe gedragsvormen die optreden in heel wat problemen in wetenschappen en techniek. Er wordt aangetoond dat de wiskundige modellen voor dergelijke fenomenen heel wat gemeenschappelijke kenmerken bezitten. Verder wordt aangegeven hoe deze wiskundige modellen kunnen worden geanalyseerd, gebruik makend van analytische technieken en numerieke methoden en software.
Begintermen
Vaardigheden: de student moet kunnen analyseren, synthetiseren en interpreteren.
Kennis: analyse, differentiaalvergelijkingen (bv. Technische Wiskunde), Numerieke Wiskunde, lineaire systeemtheorie.
Beginvoorwaarden: Analyse (bv. H01A0 en H01A2), differentiaalvergelijkingen (bv. Technische Wiskunde), Numerieke Wiskunde (bv. H01D8A), Systeemtheorie en regeltechniek (H01M8A)
Identieke opleidingsonderdelen
Dit opleidingsonderdeel is identiek aan de volgende opleidingsonderdelen:
H03D9A : Nonlinear Systems
Plaats in het onderwijsaanbod
Onderwijsleeractiviteiten
6 sp. Niet-lineaire systemen: opdracht (B-KUL-H0S12a)
NederlandsWerkvorm: OpdrachtTweede semesterInhoud
De hiernavolgende punten worden ruim geïllustreerd aan de hand van concrete voorbeelden uit verscheidene disciplines.
1) Inleiding
Van lineair naar niet-lineair. Historisch overzicht en voorbeelden.
2) Dynamische systemen
* Studie van ééndimensionale differentiaalsystemen:
- met rechtlijnige toestandsruimte: evenwichtspunten en stabiliteit,
- met cirkel als toestandsruimte: uniforme en niet-uniforme oscillatoren, synchronisatie.
* Studie van tweedimensionale differentiaalsystemen
- Fasevlak en faseportretten:
evenwichtspunten, karakteriseren van aard der evenwichtspunten door linearisatie en voorwaarden daartoe.
Bijzondere eigenschappen van faseportretten bij conservatieve en reversibele systemen. Poincaré index.
- Limietcycli en voorwaarden voor het al of niet bestaan ervan.
Gradiëntsystemen. Lyapounov functies.
Poincaré-Bendixon theorema.
- Vreemde attractoren ('chaotisch gedrag').
- Liénard-systemen en relaxatieoscillatoren. Zwak niet-lineaire oscillatoren en pertubatietheorie.
3) Bifurcatie-analyse
- Begrippen uit de bifurcatietheorie voor parameterafhankelijke niet-lineaire systemen: bifurcaties en hun normaalvormen (o.a. Hopf-bifurcatie, homoclinische bifurcatie), catastrofetheorie
- Gekoppelde oscillatoren: synchronisatie, quasiperiodiciteit.
- Poincaré afbeeldingen.
4) Chaostheorie
- Deterministische chaos; chaos bij continue-tijd systemen en bij discrete-tijd systemen
- Lorenz-vergelijking, discrete Lorenz-afbeelding
- Logistische afbeelding
- Wegen naar chaos: periodeverdubbelingen (Feigenbaumconstante), intermittentie
- Maat voor chaos: Lyapounov-exponent, fractale dimensie
5) Ruimtelijke patroonvorming
- Patroonvorming in cellulaire automaten
- Turing-structuren in reactie-diffusieproblemen
- Patroonvorming in hydrodynamische problemen
6) Numerieke methoden voor continuering en bifurcatie-analyse.
- Numerieke continuering van oplossingstakken
- Numerieke methoden voor het berekenen van periodieke oplossingen en hun stabiliteit (Monodromymatrix), berekening van Lyapounov-exponenten, ...
- Functionaliteit en gebruik van softwarepakketten voor analyse van dynamische systemen en bifurcatie-analyse
Er worden ook oefeningen aangeboden.
Studiemateriaal
Handboek/artikels en literatuur/toledo